Como uma onda no mar

Com a física quântica, cada vez mais no cotidiano das pessoas, termos como onda de matéria são cada vez mais recorrentes nos círculos de conversa. Porem, para entendemos o conceito de onda de matéria precisamos primeiro compreender o que é uma onda. Uma onda pode assumir varias propriedades dependendo de sua natureza, por exemplo:

figura 1

Ondas mecânicas (fig. 1): São as mais comuns quando pensamos em ondas, Ondas do mar, ondas sonoras, ondas de choque são apenas alguns exemplos. Para que existam sempre se fará presente um meio material, como nossa atmosfera ou a água.

figura 2

Ondas eletromagnéticas (fig. 2): Apesar de em um primeiro momento não serem lembradas estão sempre conosco. Um exemplo comum, a luz. No entanto, no espectro dessa onda podemos ainda encontrar os raios-X, gama, ultravioleta, infravermelho, ondas de radio e televisão, micro-ondas, etc. Além de não precisarem de um meio material para propagarem, possuem sempre uma velocidade constante no vácuo (velocidade da onda eletromagnética $ c = 299.792.458 m/s$). Outro aspecto importante desta onda é sua característica dual, ou seja, hora ela se comportará como uma onda, outro momento se comportara como partícula, o que torna seu estudo não mas vinculado a física clássica e sim a física quântica. 

figura 3

Ondas de matéria (fig. 3): Estão associadas a elétrons, prótons e outras partículas elementares da matéria, logo, toda a matéria. Esta, talvez seja a onda que mais dificuldade podemos ter para
entendermos seus fundamentos e por isso nos aprofundaremos nela durante este texto.

Apesar de suas caracteriais únicas, todas as vertentes de onda seguem certos conceitos
físicos, como por exemplo, elas sempre iram possuir um vale, seu ponto mais baixo, e uma crista ou
pico, seu ponto mais alto (fig. 4). Seu comprimento ($\lambda$) sempre será medido pelo pedaço da onda que se repete, por exemplo, a distancia entre duas cristas, ou dois vales. Seu período ($T$) é medido pelo tempo que dois módulos passam pelo mesmo ponto. E sua frequência ($f$) é numero de módulos, que em um determinado tempo, passa por um mesmo ponto. 

figura 4

     Ao observamos uma onda mecânica, que possui uma corda como meio de locomoção (fig. 4),
notamos certos comportamentos que irá se repetir em todos os tipos de onda. Uma dessas
características pode ser notada ao restringirmos a onda em um espaço delimitado, ou seja, notamos
que uma onda em uma corda infinita se comportará diferente de uma onda em uma corda com inicio
e fim definidos. No primeiro caso a onda ira ser progressiva, cada partícula da corda será estimulada
e irá estimular a partícula seguinte a fazer um movimento harmônico simples, indo do centro a
crista, da crista ao centro, do centro ao vale, do vale ao centro, por exemplo; Nesta situação a onda
também poderá ser criada em qualquer frequência. Quando restringimos seu meio restringimos
também esse fator, assim, uma onda em uma corda finita, só poderá existir em determinadas
frequências e será apenas uma onda estacionaria, ou seja, haverá nós (pequenos pedaços) onde a
corda nunca irá se mover.

Quando confinamos uma onda em uma corda de um tamanho $L$, estamos quantizando sua
frequência $f$ pelo tamanho da corda dado. Imaginemos uma corda amarrada em um poste, você
segurará a outra ponta como na figura 4, assim confinamos a corda. Agora levante a ponta da corda
de modo a fazer uma única onda, $n = 1$, percorrê-la. Quando criamos duas ondas, $n = 2$, notamos que a distancia entre o vale e a crista, ou seja, o comprimento $\lambda$ da onda, diminui pela metade e dois nós, locais onde a corda não se moverá, serão criados. Se criarmos três ondas, $n = 3$, o numero de nós aumentará e $\lambda$ irá diminuir, assim sucessivamente. Com este experimento fica fácil notar que realmente o numero de frequência $f$ será restringindo pelo tamanho $L$, também como seu
comprimento $\lambda$. Assim, podemos entender como estes dados se relacionam:

$L =\frac{n\lambda}{2}$ para $n= 1, 2, 3...$ (Fórmula 1)

Quando pensamos no elétron como uma onda, podemos concluir que; Um elétron, não
relativístico, confinado em um determinado espaço, se comportará como uma onda restringida no
mesmo espaço com $n$ sendo o numero quântico de cada elétron, podemos achar seu deslocamento
transversal em um ponto $x$ pela equação :

 $yn(x)= A sin{(\frac{n\pi}{L})x}$ para $n= 1, 2, 3...$ (Fórmula 2)

com A sendo uma função dependente do tempo.

     Se analisarmos a função, logo notamos que independentemente do tempo, para $x=0$, inicio
da corda, e $x = L$, fim da corda, seu deslocamento será $ 0$, o que faz todo sentido, pois estes dois
lugares serão os nós, onde a corda, no nosso exemplo, não ira se mover por estar presa no poste e na
tua mão, como na figura 4.
     

     Ao analisarmos um elétron aos olhos da física clássica podemos simplesmente atribuir uma
energia mecânica ($E$) para ele, afinal como partícula, $E = Ek+Ep = \frac{mv^2}{2} + mgh $, energia mecânica será igual à soma da energia cinética e energia potencial, neste caso, gravitacional. No
entanto, não era o que se mostrava nos experimentos, a energia dos elétrons são sempre bem
definidas e quantizadas, pois possuem uma onda de matéria que age como uma onda confinada. Se
usarmos os pensamentos de de Broglie e portanto $\lambda = \frac{h}{p}$, onde $p$ é o momento do elétron, quando, atribuído apenas a energia cinética, $p$ seria igual a $\sqrt{2mEk} $, assim ficariams com:

 $\lambda=\frac{h}{\sqrt{2mEk}} $ (Fórmula 3) 

e:

$L=\frac{(n h\sqrt{2mEk})}{2} $ para $ n= 1, 2, 3...$ (Fórmula 4) 

Explicitando $Ek$, temos:

$Ek=(\frac{h^2}{8mL^2}) n^2$ para $n= 1, 2, 3...$(Fórmula 5)

     Assim conseguimos chegar nas energias quantizadas dos elétrons mostradas pelos experimentos, o que confirma que, de fato, os elétrons são ondas.
     O que ocorre é que a natureza sempre tende ao menor gasto energético possível, assim os
Elétrons sempre tenderão para o estado fundamental de energia $n = 1$ e só poderão ir para $n = 2$ se
receber uma quantidade exata de energia, pois como vimos cada orbital possui uma energia
quantizada pela fórmula 5, assim temos então que a energia necessária para que o elétron salte será:

$\Delta E=\Delta En_2 - \Delta En_1$ (Fórmula 6)

     Quando o elétron recebe a energia $\Delta E$ exata, ele salta para $n = 2$ e para que ele consiga
retorna para $n = 1$ ele deverá liberar a mesma energia $\Delta E$. Porem existe mais estados de energias, $n=3$, $n = 4 $, $n= 5…$, e cada um com sua quantidade de energia especifica, assim um elétron pode, por exemplo, saltar de $n=1$ para $n=4$ deis de que receba a energia $\Delta E$ necessária para isso. No efeito foto elétrico, uma luz com energia descrita por $E=hf$ é lançada a uma placa de metal, neste caso para que o elétron salte para fora do metal, ele precisa de uma energia $\Delta E$, por tanto, o elétron só saltara se $E=\Delta E$, ou seja, $hf=\Delta E$, assim não importa se a frequência da luz é alta ou baixa, mas sim se ela for compatível com $\Delta E$. 

     No entanto não podemos observar uma onda de matéria confinada, pois assim que a detectamos ela se colapsara em um elétron/partícula, por isso a função que determina a posição de uma onda de matéria, nunca poderá ser exata apenas probabilísticas, assim sendo,$\Psi (x) = A sin({\frac{n\pi}{L}})x$ só nos será útil quando se tornar uma função de densidade de probabilidade,
com $|\Psi (x)|^2$.

   

figura 5

Na natureza o elétron se comportará como uma onda confinada, pois, estará atrelado a um
núcleo e como vimos nesta condição sua energia será quantizada.
     Para um átomo de Hidrogênio, quando usamos o modelo de Bohr , temos $E = Ek+Ep$, onde
tua energia mecânica será a soma da energia cinética ($Ek = \frac{mv^2}{2}$) e energia potencial ($Ep =\frac{q_1+q_2}{4\pi \xi 0r}$) para $q_1$( carga do elétron $-e$) e $q_2$ (carga positiva do próton $+e$).
Quando explicitamos $mv^2$ em :

$– (\frac{1}{4\pi \xi0r} \frac{e^2}{r^2}) = m( \frac{- v^2}{r})$ (Fórmula 7)

e substituímos em $Ek$ obtemos:

$E= \frac{-1}{8\pi \xi0} \frac{e^2}{r}$ (Fórmula 8)

Explicitando r na fórmula 7 e substituindo na fórmula 8, temos:

$En = - \frac{me4}{8\xi ^20h^2 } \frac{1}{n^2}$ para $n = 1, 2, 3...$  (Fórmula 9)

Substituído os valores das constantes:

$En = - 2,180 \times 10 ^-18 J / n^2 = - 13,61 eV / n^2$ para $n=1, 2, 3...$  (Fórmula 10)

Como este resultado depende de $n$, podemos então dizer que somente iremos obter
resultados quantizados para $E$ no átomo de Hidrogênio, o que explica, como se da, a relação do
elétron como onda de matéria.